Упр.320 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 320. Найдите координаты всех точек В оси ординат таких, что треугольник АВС — прямоугольный и A(1; 3), С(3; 7).

Пусть $$B(0;y)$$, так как точка $$B$$ лежит на оси ординат.

Треугольник $$ABC$$ может быть прямоугольным в одной из трёх вершин: $$A$$, $$B$$ или $$C$$.

1) Пусть $$\angle A=90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора

$$AB^2+AC^2=BC^2.$$

Найдём квадраты длин:

$$AB^2=(0-1)^2+(y-3)^2=1+(y-3)^2,$$

$$AC^2=(3-1)^2+(7-3)^2=2^2+4^2=20,$$

$$BC^2=(3-0)^2+(7-y)^2=9+(y-7)^2.$$

Подставим:

$$1+(y-3)^2+20=9+(y-7)^2.$$

Раскроем скобки:

$$1+y^2-6y+9+20=9+y^2-14y+49,$$

$$y^2-6y+30=y^2-14y+58,$$

$$8y=28,$$

$$y=3{,}5.$$

2) Пусть $$\angle B=90^\circ$$. Тогда

$$AB^2+BC^2=AC^2.$$

Подставим:

$$\bigl(1+(y-3)^2\bigr)+\bigl(9+(y-7)^2\bigr)=20.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$2y^2-20y+48=0,$$

$$y^2-10y+24=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 24=100-96=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 2}{2}.$$

Следовательно,

$$y_1=4,\qquad y_2=6.$$

3) Пусть $$\angle C=90^\circ$$. Тогда

$$AC^2+BC^2=AB^2.$$

Подставим:

$$20+\bigl(9+(y-7)^2\bigr)=1+(y-3)^2.$$

После преобразований получаем:

$$8y=68,$$

$$y=8{,}5.$$

Итак, возможные точки $$B$$ имеют координаты:

$$B(0;3{,}5),\; B(0;4),\; B(0;6),\; B(0;8{,}5).$$

Ответ

$$B(0;3{,}5),\; B(0;4),\; B(0;6),\; B(0;8{,}5).$$