Упр.319 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите координаты всех точек $$C$$ оси абсцисс таких, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный и $$A(1; 1)$$, $$B(2; 3)$$.

Пусть $$C(x;0)$$ — точка на оси абсцисс. Тогда возможны три случая равнобедренного треугольника:

• $$AC=BC$$;
• $$AC=AB$$;
• $$BC=AB$$.

Найдём координаты точки $$C$$ в каждом случае.

1) $$AC=BC$$.

Тогда $$AC^2=BC^2$$:

$$(x-1)^2+(0-1)^2=(x-2)^2+(0-3)^2$$
$$x^2-2x+1+1=x^2-4x+4+9$$
$$2x=11,\quad x=5{,}5$$

Получаем точку $$C(5{,}5;0)$$.

2) $$AC=AB$$.

Тогда $$AC^2=AB^2$$:

$$(x-1)^2+(0-1)^2=(2-1)^2+(3-1)^2$$
$$x^2-2x+1+1=1+4$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Получаем точки $$C(-1;0)$$ и $$C(3;0)$$.

3) $$BC=AB$$.

Тогда $$BC^2=AB^2$$:

$$(x-2)^2+(0-3)^2=(2-1)^2+(3-1)^2$$
$$x^2-4x+4+9=1+4$$
$$x^2-4x+8=0$$
$$D= (-4)^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16$$

Действительных корней нет, значит, в этом случае точек не существует.

Ответ

$$C(5{,}5;0),\ C(-1;0),\ C(3;0)$$