Упр.319 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 319. Найдите координаты всех точек С оси абсцисс таких, что треугольник АВС — равнобедренный и A(1; 1), В(2; 3).

Подробный ответ

Пусть $$C(x;0)$$ — точка на оси абсцисс. Тогда возможны три случая равнобедренного треугольника:

$$AC=BC$$;
$$AC=AB$$;
$$BC=AB$$.

Найдём координаты точки $$C$$ в каждом случае.

1) $$AC=BC$$.

Тогда $$AC^2=BC^2$$:

$$ (x-1)^2+(0-1)^2=(x-2)^2+(0-3)^2 $$
$$ x^2-2x+1+1=x^2-4x+4+9 $$
$$ 2x=11,\quad x=5{,}5 $$

Получаем точку $$C(5{,}5;0)$$.

2) $$AC=AB$$.

Тогда $$AC^2=AB^2$$:

$$ (x-1)^2+(0-1)^2=(2-1)^2+(3-1)^2 $$
$$ x^2-2x+1+1=1+4 $$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16 $$
$$ x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2} $$
$$ x_1=-1,\quad x_2=3 $$

Получаем точки $$C(-1;0)$$ и $$C(3;0)$$.

3) $$BC=AB$$.

Тогда $$BC^2=AB^2$$:

$$ (x-2)^2+(0-3)^2=(2-1)^2+(3-1)^2 $$
$$ x^2-4x+4+9=1+4 $$
$$ x^2-4x+8=0 $$
$$ D= (-4)^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16 $$

Действительных корней нет, значит, в этом случае точек не существует.