Упр.318 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC$$, $$A(5; 9)$$, $$C(1; -3)$$, модули координат точки $$B$$ равны. Найдите координаты точки $$B$$.

Так как $$AB=BC,$$ то точка $$B$$ равноудалена от точек $$A(5;9)$$ и $$C(1;-3).$$ Пусть координаты точки $$B$$ имеют вид $$B(a;b).$$

Из условия задачи известно, что модули координат точки $$B$$ равны, значит возможны два случая:

• $$B(a;a),$$
• $$B(a;-a).$$

1) Рассмотрим случай $$B(a;a).$$ Тогда

$$AB^2=BC^2$$
$$(a-5)^2+(a-9)^2=(a-1)^2+(a+3)^2.$$

$$a^2-10a+25+a^2-18a+81=a^2-2a+1+a^2+6a+9$$
$$2a^2-28a+106=2a^2+4a+10$$
$$-32a=-96$$
$$a=3.$$

Тогда $$B(3;3).$$

2) Рассмотрим случай $$B(a;-a).$$ Тогда

$$AB^2=BC^2$$
$$(a-5)^2+(-a-9)^2=(a-1)^2+(-a+3)^2.$$

$$a^2-10a+25+a^2+18a+81=a^2-2a+1+a^2-6a+9$$
$$2a^2+8a+106=2a^2-8a+10$$
$$16a=-96$$
$$a=-6.$$

Тогда $$B(-6;6).$$

Следовательно, возможны две точки $$B$$.

Ответ

$$B(3;3)$$ или $$B(-6;6).$$