Упр.317 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 317. Найдите координаты вершины Е равностороннего треутольника DEF, если D(-6; 0) и F(2; 0).

Так как треугольник $$DEF$$ равносторонний, то его сторона $$DF$$ равна $$DE$$ и $$EF$$.

Найдём длину стороны $$DF$$:

$$DF^2=(2-(-6))^2+(0-0)^2=8^2=64,$$
значит, $$DF=8$$.

Пусть $$E(x;y)$$. Тогда

$$DE^2=(x+6)^2+y^2=64,$$

$$EF^2=(x-2)^2+y^2=64.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ (x+6)^2-(x-2)^2=0,$$

$$x^2+12x+36-\bigl(x^2-4x+4\bigr)=0,$$

$$16x+32=0,$$

$$x=-2.$$

Подставим это значение в уравнение $$DE^2=64$$:

$$(-2+6)^2+y^2=64,$$

$$16+y^2=64,$$

$$y^2=48,$$

$$y=\pm 4\sqrt{3}.$$

Следовательно, вершина $$E$$ может иметь две координаты: $$(-2;\,4\sqrt{3})$$ или $$(-2;\,-4\sqrt{3})$$.

Ответ

$$(-2;\,4\sqrt{3})$$ или $$(-2;\,-4\sqrt{3})$$.