Упр.316 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите координаты вершины $$C$$ равностороннего треугольника $$ABC$$, если $$A(2; -3)$$ и $$B(-2; 3)$$.

Пусть $$C(x;y)$$ — искомая вершина равностороннего треугольника $$ABC$$.

Найдём длину стороны $$AB$$:

$$AB^2 = (-2-2)^2 + (3-(-3))^2 = (-4)^2 + 6^2 = 16+36=52.$$

Так как треугольник равносторонний, то $$AC=BC=AB$$, значит:

$$AC^2=(x-2)^2+(y+3)^2=52,$$
$$BC^2=(x+2)^2+(y-3)^2=52.$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$(x-2)^2+(y+3)^2-(x+2)^2-(y-3)^2=0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-4x+4+y^2+6y+9-x^2-4x-4-y^2+6y-9=0,$$
$$-8x+12y=0,$$
$$y=\frac{2}{3}x.$$

Подставим это выражение в уравнение для $$AC$$:

$$(x-2)^2+\left(\frac{2}{3}x+3\right)^2=52.$$

После преобразований получаем:

$$x^2-4x+4+\frac{4}{9}x^2+4x+9=52,$$
$$\frac{13}{9}x^2=39,$$
$$x^2=27,$$
$$x=\pm 3\sqrt{3}.$$

Тогда

$$y=\frac{2}{3}x=\pm 2\sqrt{3}.$$

Получаем две возможные вершины:

$$C_1(-3\sqrt{3};\, -2\sqrt{3}), \qquad C_2(3\sqrt{3};\, 2\sqrt{3}).$$

Ответ

$$(-3\sqrt{3};\, -2\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3};\, 2\sqrt{3})$$