Упр.316 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 316. Найдите координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если А(2; -3) и В(-2; 3).

Пусть $$C(x;y)$$ — искомая вершина равностороннего треугольника $$ABC$$.

Найдём длину стороны $$AB$$:

$$ AB^2 = (-2-2)^2 + (3-(-3))^2 = (-4)^2 + 6^2 = 16+36=52. $$

Так как треугольник равносторонний, то $$AC=BC=AB$$, значит:

$$ AC^2=(x-2)^2+(y+3)^2=52, $$
$$ BC^2=(x+2)^2+(y-3)^2=52. $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (x-2)^2+(y+3)^2-(x+2)^2-(y-3)^2=0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-4x+4+y^2+6y+9-x^2-4x-4-y^2+6y-9=0, $$
$$ -8x+12y=0, $$
$$ y=\frac{2}{3}x. $$

Подставим это выражение в уравнение для $$AC$$:

$$ (x-2)^2+\left(\frac{2}{3}x+3\right)^2=52. $$

После преобразований получаем:

$$ x^2-4x+4+\frac{4}{9}x^2+4x+9=52, $$
$$ \frac{13}{9}x^2=39, $$
$$ x^2=27, $$
$$ x=\pm 3\sqrt{3}. $$

Тогда

$$ y=\frac{2}{3}x=\pm 2\sqrt{3}. $$

Получаем две возможные вершины:

$$ C_1(-3\sqrt{3};\, -2\sqrt{3}), \qquad C_2(3\sqrt{3};\, 2\sqrt{3}). $$

Ответ

$$(-3\sqrt{3};\, -2\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3};\, 2\sqrt{3})$$