Упр.313 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 313. Докажите, что четырёхугольник АВCD с вершинами в точках A(-2; 6), В(-8; -2), С(0; -8) и D(6; 0) является квадратом.

Подробный ответ

Найдём длины сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(-8-(-2))^2+(-2-6)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10,$$
$$BC=\sqrt{(0-(-8))^2+(-8-(-2))^2}=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=10,$$
$$CD=\sqrt{(6-0)^2+(0-(-8))^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10,$$
$$DA=\sqrt{((-2)-6)^2+(6-0)^2}=\sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника равны:

$$AB=BC=CD=DA=10.$$

Теперь проверим, является ли он прямоугольником. Найдём длины диагоналей:

$$AC=\sqrt{(0-(-2))^2+(-8-6)^2}=\sqrt{2^2+(-14)^2}=\sqrt{4+196}=\sqrt{200},$$
$$BD=\sqrt{(6-(-8))^2+(0-(-2))^2}=\sqrt{14^2+2^2}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200}.$$

Диагонали равны:

$$AC=BD.$$

Четырёхугольник, у которого все стороны равны и диагонали равны, является квадратом. Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат.