Упр.312 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(-3; -2)$$, $$B(-1; 2)$$, $$C(1; -2)$$ и $$D(-1; -6)$$ является ромбом.

Найдём длины двух соседних сторон четырёхугольника по формуле расстояния между точками.

$$AB=\sqrt{(-1-(-3))^2+(2-(-2))^2} =\sqrt{2^2+4^2} =\sqrt{20}$$

$$BC=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-2)^2} =\sqrt{2^2+(-4)^2} =\sqrt{20}$$

Аналогично:

$$CD=\sqrt{((-1)-1)^2+((-6)-(-2))^2} =\sqrt{(-2)^2+(-4)^2} =\sqrt{20}$$

$$DA=\sqrt{((-3)-(-1))^2+((-2)-(-6))^2} =\sqrt{(-2)^2+4^2} =\sqrt{20}$$

Получаем:

$$AB=BC=CD=DA=\sqrt{20}.$$

Следовательно, все стороны четырёхугольника равны, значит, $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

$$ABCD$$ — ромб, так как $$AB=BC=CD=DA=\sqrt{20}$$.