Упр.311 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(-2; 8)$$, $$B(3; -3)$$, $$C(6; 2)$$ и $$D(1; 13)$$ является параллелограммом.

Найдём координаты векторов AB и DC:

$$\overrightarrow{AB}=(3-(-2);\,-3-8)=(5;\,-11),$$
$$\overrightarrow{DC}=(6-1;\,2-13)=(5;\,-11).$$

Следовательно, $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$, значит, прямые $$AB$$ и $$DC$$ параллельны и равны соответствующие отрезки.

Теперь найдём векторы BC и AD:

$$\overrightarrow{BC}=(6-3;\,2-(-3))=(3;\,5),$$
$$\overrightarrow{AD}=(1-(-2);\ 13-8)=(3;\,5).$$

Итак, $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$$. Значит, $$BC \parallel AD$$ и $$BC=AD$$.

Так как обе пары противоположных сторон четырёхугольника попарно равны и параллельны, то четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом.

Ответ

$$ABCD$$ — параллелограмм.