Упр.302 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 302. Точки А(-1; 2) и В(7; 4) являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты: 1) (7; 2); 2) (2; -3)?

Подробный ответ

Найдём длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками.

1) $$C(7;2)$$

$$AB=\sqrt{(-1-7)^2+(2-4)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68},$$
$$BC=\sqrt{(7-7)^2+(4-2)^2}=\sqrt{0+4}=2,$$
$$AC=\sqrt{(7+1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{64+0}=8.$$

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

$$BC^2+AC^2=2^2+8^2=4+64=68=AB^2.$$

Значит, $$\angle C=90^\circ$$, и треугольник прямоугольный.

2) $$C(2;-3)$$

$$AB=\sqrt{(-1-7)^2+(2-4)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68},$$
$$BC=\sqrt{(7-2)^2+(4+3)^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74},$$
$$AC=\sqrt{(-1-2)^2+(2+3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.$$

Проверим теорему Пифагора:

$$AB^2+AC^2=68+34=102,$$
$$BC^2=74.$$

Равенство не выполняется, значит, прямого угла нет.