Упр.29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите неизвестную сторону треугольника $$DEF$$, если:
1) $$DE=4\text{ см}$$, $$DF=2\sqrt{3}\text{ см}$$, угол $$D=30^\circ$$;
2) $$DF=3\text{ см}$$, $$EF=5\text{ см}$$, угол $$F=120^\circ$$.

1) Найдём сторону $$EF$$ по теореме косинусов:

$$EF^2=DE^2+DF^2-2\cdot DE\cdot DF\cdot \cos \angle D.$$

Подставим данные:

$$EF^2=4^2+(2\sqrt{3})^2-2\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}\cdot \cos 30^\circ.$$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем:

$$EF^2=16+12-16\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=28-24=4.$$

Следовательно,

$$EF=2\text{ см}.$$

2) Найдём сторону $$DE$$ по теореме косинусов:

$$DE^2=DF^2+EF^2-2\cdot DF\cdot EF\cdot \cos \angle F.$$

Подставим данные:

$$DE^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos 120^\circ.$$

Так как $$\cos 120^\circ=-\frac{1}{2},$$ получаем:

$$DE^2=9+25-30\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49.$$

Следовательно,

$$DE=7\text{ см}.$$

Ответ

1) $$EF=2\text{ см}$$; 2) $$DE=7\text{ см}$$.