Упр.283 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 283. Сумма углов при большем основании трапеции равна 90°. Докажите, что расстояние между серединами оснований трапеции равно полуразности оснований.

Подробный ответ

Сделаем построение: проведём через точку $$F$$ прямую $$FM \parallel AB$$, где $$M \in AD$$, и прямую $$FN \parallel CD$$, где $$N \in AD$$.

Тогда четырёхугольники $$ABFM$$ и $$CFDN$$ — параллелограммы. Поэтому

$$AM=BF,\qquad DN=CF.$$

По условию $$BF=CF$$, значит

$$AM=DN.$$

Кроме того, так как сумма углов при большем основании трапеции равна $$90^\circ$$, то

$$\angle A+\angle D=90^\circ.$$

В параллелограммах имеем

$$\angle FMN=\angle A,\qquad \angle FNM=\angle D.$$

Следовательно, в треугольнике $$MFN$$

$$\angle MFN=180^\circ-\angle FMN-\angle FNM=180^\circ-(\angle A+\angle D)=90^\circ.$$

Значит, $$FM \perp FN$$.

Пусть $$E$$ — середина основания $$AD$$. Тогда из условия $$AE=DE$$ и равенства $$AM=DN$$ получаем

$$ME=AE-AM=DE-DN=NE.$$

То есть точка $$E$$ — середина отрезка $$MN$$. Следовательно, $$FE$$ — медиана прямоугольного треугольника $$MFN$$, проведённая к гипотенузе $$MN$$, а значит

$$FE=\frac{1}{2}MN.$$

Но

$$MN=AD-AM-DN=AD-2AM.$$

Так как $$AM=BF=CF=DN$$ и $$BC=BF+FC=2BF=2AM$$, то

$$MN=AD-BC.$$

Следовательно,

$$FE=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{AD-BC}{2}.$$