Упр.282 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 282. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит его сторону ВС на отрезки ВМ и MC длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения биссектрисы $$AM$$ с диагональю $$BD$$ через $$E$$.

В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, значит $$AD=BC$$. По условию

$$BC=BM+MC=10+14=24.$$

Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAM=\angle DAE=\frac{1}{2}\angle A=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём

$$\angle B=90^\circ,\quad \angle A=45^\circ,$$

следовательно, $$\angle M=45^\circ$$ и треугольник $$ABM$$ равнобедренный прямоугольный. Тогда

$$AB=BM=10.$$

Найдём диагональ прямоугольника $$BD$$:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26.$$