Упр.280 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 280. Два квадрата со сторонами 1 см имеют общий центр (рис. 63). Докажите, что площадь их общей части больше, чем п/4.

Подробный ответ

Пусть сторона каждого квадрата равна $$1$$ см. Так как квадраты имеют общий центр, то в каждом из них можно провести вписанную окружность с одним и тем же центром.

Радиус такой окружности равен половине стороны квадрата:

$$r=\frac{1}{2}.$$

Эта окружность целиком лежит внутри каждого квадрата, значит, она целиком принадлежит их общей части. Следовательно, площадь общей части двух квадратов не меньше площади этой окружности:

$$S \ge \pi r^2=\pi\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{\pi}{4}.$$

Так как общая часть двух квадратов содержит не только эту окружность, то её площадь строго больше площади окружности:

$$S>\frac{\pi}{4}.$$

Что и требовалось доказать.