Упр.279 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 279. (Задача Гиппократа.) Около прямоугольника описали окружность и на каждой его стороне как на диаметре построили полуокружность (рис. 62*). Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур равна площади прямоугольника.

Обозначим площадь закрашенных фигур через $$S_{\text{закр}}$$, а площадь незакрашенной части внутри окружности — через $$S_{\text{незакр}}$$.

В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем

$$AB=CD,\quad BC=AD,$$

а по теореме Пифагора для диагонали $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2.$$

Окружность, описанная около прямоугольника, имеет диаметр $$AC$$, значит её площадь равна

$$S_{\text{окр}}=\frac{\pi AC^2}{4}.$$

Полуокружины построены на сторонах прямоугольника как на диаметрах, поэтому сумма площадей всех четырёх полуокружностей равна

$$S_{\text{закр}}+S_{\text{незакр}}=\frac{\pi AB^2}{4}+\frac{\pi BC^2}{4}.$$

Подставим сюда $$AB^2+BC^2=AC^2$$:

$$S_{\text{закр}}+S_{\text{незакр}}=\frac{\pi AC^2}{4}=S_{\text{окр}}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{незакр}}=S_{\text{окр}}-S_{ABCD}.$$

Тогда из равенства площадей получаем:

$$S_{\text{закр}}+\frac{\pi AC^2}{4}-S_{ABCD}=\frac{\pi AC^2}{4},$$

откуда

$$S_{\text{закр}}=S_{ABCD}.$$

Что и требовалось доказать.