Упр.278 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

• При построении четырёх дуг с центрами в вершинах квадрата ABCD и радиусами, равными стороне $$a$$ квадрата, образовалась фигура, ограниченная красной линией (рис. 61). Найдите длину этой линии.

Рассмотрим треугольник $$AND$$. Так как дуги построены с центрами в вершинах квадрата и радиусами, равными стороне квадрата, то

$$AN=AD=DN=a.$$

Следовательно, $$\triangle AND$$ — равносторонний, значит

$$\angle DAN=60^\circ.$$

В квадрате $$ABCD$$ угол $$\angle BAD=90^\circ$$, поэтому

$$\angle BAN=90^\circ-\angle DAN=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

По симметрии рисунка

$$\angle DAK=30^\circ.$$

Тогда в квадрате $$ABCD$$

$$\angle NAK=90^\circ-\angle BAN-\angle DAK=90^\circ-30^\circ-30^\circ=30^\circ.$$

Длина одной дуги $$NK$$ равна длине дуги окружности с центральным углом $$30^\circ$$ и радиусом $$a$$:

$$L_{NK}=\frac{30^\circ}{180^\circ}\cdot \pi a=\frac{\pi a}{6}.$$

Таких дуг в искомой линии четыре, значит

$$P_{MNKP}=4\cdot L_{NK}=4\cdot \frac{\pi a}{6}=\frac{2\pi a}{3}.$$

Ответ

$$\frac{2\pi a}{3}$$