Упр.277 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 277. Найдите площадь розетки (заштрихованной фигуры), изображённой на рисунке 60, если сторона квадрата АВCD равна а.

Подробный ответ

В квадрате $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$F$$, значит $$F$$ — центр квадрата. Проведём через точку $$E$$ перпендикуляр к стороне $$AB$$, тогда $$E$$ — середина $$AB$$, и

$$AE=BE=EF=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$BEF$$. Его площадь равна

$$S_{BEF}=\frac{1}{2}\cdot BE\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{8}.$$

Теперь найдём площадь сектора окружности с центром в точке $$E$$ и радиусом $$EF$$. Угол сектора равен $$90^\circ$$, поэтому

$$S_{\text{сектора}}=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2}{16}.$$

Тогда площадь одной лепестковой части равна

$$S_{BF}=\frac{\pi a^2}{16}-\frac{a^2}{8}=\frac{a^2(\pi-2)}{16}.$$

Таких одинаковых частей в розетке восемь, значит

$$S=8S_{BF}=8\cdot \frac{a^2(\pi-2)}{16}=a^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right).$$