Упр.276 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

В круговой сектор, радиус которого равен $$R$$, а центральный угол составляет $$60^\circ$$, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

Подробный ответ

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$.

Пусть $$AB$$ — хорда сектора, а $$O$$ — его центр. Тогда $$OA=OB=R$$, $$\angle AOB=60^\circ$$.

Так как окружность вписана в сектор, то её центр лежит на биссектрисе угла $$AOB$$, а радиус к точке касания перпендикулярен стороне сектора. Следовательно, в треугольнике $$AOB$$ высота, опущенная из вершины $$O$$ на основание $$AB$$, одновременно является биссектрисой.

Треугольник $$AOB$$ равносторонний, так как $$OA=OB$$ и $$\angle AOB=60^\circ$$. Значит, его сторона

$$AB=R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной окружности и стороной сектора. Для угла $$60^\circ$$ получаем

$$r=\frac{AB}{2\tan 60^\circ}.$$

Подставим $$AB=R$$:

$$r=\frac{R}{2\sqrt{3}}.$$

Но в секторе с углом $$60^\circ$$ удобнее воспользоваться тем, что расстояние от центра сектора до центра вписанной окружности равно $$R-r$$, а из геометрии равностороннего треугольника получается

$$r=\frac{R}{3}.$$

Тогда площадь вписанной окружности равна

$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{R}{3}\right)^2=\frac{\pi R^2}{9}.$$