Упр.275 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 275. В круг вписан правильный треугольник со стороной а. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — правильный треугольник, вписанный в окружность, а $$O$$ — её центр. Тогда $$AB=BC=CA=a$$, а все углы треугольника равны $$60^\circ$$.

Найдём радиус описанной окружности:

$$R=\frac{AB}{2\sin \angle ACB}=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Так как правильный треугольник делит окружность на три равные дуги, то центральный угол, опирающийся на сторону $$BC$$, равен

$$\angle BOC=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

Площадь сектора $$BOC$$:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{a^2\pi}{9}.$$

Площадь треугольника $$BOC$$:

$$S_{BOC}=\frac{1}{2}R^2\sin 120^\circ=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}.$$

Меньший сегмент, основанием которого является сторона $$BC$$, равен разности площади сектора и площади треугольника:

$$S=\frac{a^2\pi}{9}-\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{4a^2\pi-3a^2\sqrt{3}}{36}=\frac{a^2(4\pi-3\sqrt{3})}{36}.$$