Упр.274 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 274. Из листа жести, имеющего форму круга, вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести пошло в отходы?

Подробный ответ

Пусть радиус круга равен $$R$$. Правильный шестиугольник наибольшей площади, вписанный в окружность, имеет сторону, равную радиусу: $$a=R$$.

Площадь круга:

$$S_{\text{окр}}=\pi R^2.$$

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей 6 равносторонних треугольников со стороной $$R$$:

$$S_{6} = 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2.$$

Тогда доля жести, пошедшей в отходы, равна

$$\frac{S_{\text{окр}}-S_{6}}{S_{\text{окр}}} =1-\frac{S_{6}}{S_{\text{окр}}} =1-\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}{\pi R^2} =1-\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}.$$

Вычислим приближённо:

$$1-\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\approx 1-0{,}827 \approx 0{,}173.$$

Значит, в отходы пошло примерно $$17{,}3\%$$ жести.