Упр.273 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 273. В круг вписан квадрат со стороной а. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона квадрата.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — квадрат, вписанный в окружность, а $$O$$ — её центр. Тогда диагонали квадрата являются диаметрами окружности и пересекаются в точке $$O$$.

Найдём диагональ квадрата:

$$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Так как точка $$O$$ — середина диагонали, то

$$AO=BO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Диагонали квадрата перпендикулярны, значит

$$\angle AOB=90^\circ.$$

Площадь треугольника $$AOB$$ равна

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{4}.$$

Сектор $$AOB$$ составляет четверть круга, поэтому его площадь:

$$S_{\text{сектора }AOB}=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi R^2=\frac{1}{4}\cdot \pi\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{a^2\pi}{8}.$$

Меньший сегмент, основанием которого является сторона квадрата, равен разности площади сектора и площади треугольника:

$$S=\frac{a^2\pi}{8}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2(\pi-2)}{8}.$$