Упр.270 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 270. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 59), равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ABC$$, где $$\angle ACB=90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Площадь полукруга с диаметром $$d$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi}{8}d^2.$$

Следовательно, для полукруга на гипотенузе $$AB$$ имеем

$$S_{AB}=\frac{\pi}{8}AB^2,$$

а для полукругов на катетах $$AC$$ и $$BC$$:

$$S_{AC}=\frac{\pi}{8}AC^2,\qquad S_{BC}=\frac{\pi}{8}BC^2.$$

Тогда

$$S_{AC}+S_{BC}=\frac{\pi}{8}\left(AC^2+BC^2\right)=\frac{\pi}{8}AB^2=S_{AB}.$$

Значит, площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.