Упр.270 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 59), равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ABC$$, где $$\angle ACB=90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Площадь полукруга с диаметром $$d$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi}{8}d^2.$$

Следовательно, для полукруга на гипотенузе $$AB$$ имеем

$$S_{AB}=\frac{\pi}{8}AB^2,$$

а для полукругов на катетах $$AC$$ и $$BC$$:

$$S_{AC}=\frac{\pi}{8}AC^2,\qquad S_{BC}=\frac{\pi}{8}BC^2.$$

Тогда

$$S_{AC}+S_{BC}=\frac{\pi}{8}\left(AC^2+BC^2\right)=\frac{\pi}{8}AB^2=S_{AB}.$$

Значит, площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.