Упр.27 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 27. Найдите высоту BD треугольника АВС и проекцию стороны АВ на прямую АС, если угол BAC=150°, АВ=12 см.

Подробный ответ

В треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle BAC=150^\circ$$, а точка $$D$$ — основание высоты $$BD$$, значит $$BD \perp AC$$ и $$\angle BDA=90^\circ$$.

Найдём угол $$\angle BAD$$. Так как точки $$A$$ и $$D$$ лежат на прямой $$AC$$, то

$$\angle BAD=180^\circ-\angle BAC=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ гипотенуза $$AB=12$$ см, а угол при вершине $$A$$ равен $$30^\circ$$. Тогда катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

Теперь найдём проекцию стороны $$AB$$ на прямую $$AC$$, то есть отрезок $$AD$$. По теореме Пифагора в треугольнике $$ABD$$:

$$ AD=\sqrt{AB^2-BD^2} $$

$$ AD=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\text{ см}. $$