Упр.269 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 269. Отрезок АВ разбили на n отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на m отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях.

Пусть отрезок $$AB$$ в первом случае разбит на $$n$$ частей с длинами $$a_1,a_2,\ldots,a_n$$. Тогда сумма длин построенных на них полуокружностей равна

$$ S_1=\frac{\pi a_1}{2}+\frac{\pi a_2}{2}+\cdots+\frac{\pi a_n}{2} =\frac{\pi}{2}(a_1+a_2+\cdots+a_n) =\frac{\pi}{2}AB. $$

Во втором случае отрезок $$AB$$ разбит на $$m$$ частей. Аналогично получаем

$$ S_2=\frac{\pi}{2}AB. $$

Следовательно, отношение сумм длин полуокружностей равно

$$ S_1:S_2=1:1. $$

Ответ

$$1:1$$