Упр.269 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Отрезок $$AB$$ разбили на $$n$$ отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на $$m$$ отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях.

Пусть отрезок $$AB$$ в первом случае разбит на $$n$$ частей с длинами $$a_1,a_2,\ldots,a_n$$. Тогда сумма длин построенных на них полуокружностей равна

$$S_1=\frac{\pi a_1}{2}+\frac{\pi a_2}{2}+\cdots+\frac{\pi a_n}{2} =\frac{\pi}{2}(a_1+a_2+\cdots+a_n) =\frac{\pi}{2}AB.$$

Во втором случае отрезок $$AB$$ разбит на $$m$$ частей. Аналогично получаем

$$S_2=\frac{\pi}{2}AB.$$

Следовательно, отношение сумм длин полуокружностей равно

$$S_1:S_2=1:1.$$

Ответ

$$1:1$$