Упр.266 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 266. Сторона треутольника равна 5v3 см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 25°. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Найдём третий угол:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-35^\circ-25^\circ=120^\circ.$$

По теореме синусов для описанной окружности:

$$R=\frac{AB}{2\sin \angle C}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sin 120^\circ}=\frac{5\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=5.$$

Тогда длина окружности равна:

$$L=2\pi R=2\pi\cdot 5=10\pi.$$

Длина дуги, на которую опирается угол треугольника, равна соответствующей части окружности:

$$\overset{\frown}{AB}=10\pi\cdot \frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{10\pi}{3},$$

$$\overset{\frown}{BC}=10\pi\cdot \frac{35^\circ}{360^\circ}=\frac{35\pi}{18},$$

$$\overset{\frown}{AC}=10\pi\cdot \frac{25^\circ}{360^\circ}=\frac{25\pi}{18}.$$