Упр.265 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 265. Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 50° и 100°. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию $$AB=6$$ см, $$\angle A=50^\circ$$, $$\angle B=100^\circ$$.

Найдём третий угол:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-50^\circ-100^\circ=30^\circ.$$

Пусть $$R$$ — радиус описанной около треугольника окружности. Тогда

$$AB=2R\sin \angle C.$$

Подставим значения:

$$6=2R\sin 30^\circ=2R\cdot \frac{1}{2}=R,$$

значит, $$R=6$$ см.

Длина окружности равна

$$L=2\pi R=2\pi\cdot 6=12\pi.$$

Дуги, на которые вершины треугольника делят окружность, соответствуют центральным углам, равным удвоенным вписанным углам:

$$\overset{\frown}{AB}=2\angle C=60^\circ,$$

$$\overset{\frown}{BC}=2\angle A=100^\circ,$$

$$\overset{\frown}{AC}=2\angle B=200^\circ.$$

Тогда длины дуг:

$$l_{AB}=12\pi\cdot \frac{60^\circ}{360^\circ}=2\pi,$$

$$l_{BC}=12\pi\cdot \frac{100^\circ}{360^\circ}=\frac{10\pi}{3},$$

$$l_{AC}=12\pi\cdot \frac{200^\circ}{360^\circ}=\frac{20\pi}{3}.$$

Ответ

$$2\pi\text{ см},\ \frac{10\pi}{3}\text{ см},\ \frac{20\pi}{3}\text{ см}.$$