Упр.260 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 260. Найдите площадь крутового сегмента, если радиус круга равен 2 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 60°; 2) 300°.

Подробный ответ

Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего сектора и площади треугольника, образованного двумя радиусами и хордой:

$$S=\frac{\alpha\pi R^2}{360^\circ}-\frac{1}{2}R^2\sin\alpha.$$

Здесь $$R=2$$ см, значит $$R^2=4$$.

1) При $$\alpha=60^\circ$$:

$$ S=\frac{60^\circ\cdot \pi \cdot 4}{360^\circ}-\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sin 60^\circ $$

$$ S=\frac{2\pi}{3}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3} =\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{3}. $$

2) При $$\alpha=300^\circ$$:

$$ S=\frac{300^\circ\cdot \pi \cdot 4}{360^\circ}-\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sin 300^\circ $$

Так как $$\sin 300^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем:

$$ S=\frac{10\pi}{3}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{10\pi}{3}+\sqrt{3} =\frac{10\pi+3\sqrt{3}}{3}. $$