Упр.26 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BD$$, угол $$A=60^\circ$$, угол $$C=45^\circ$$, $$AB=10\text{ см}$$. Найдите сторону $$BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$BD$$ — высота, то $$\angle BDA=90^\circ$$. Тогда

$$\angle ABD=90^\circ-\angle A=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ гипотенуза $$AB=10$$ см, поэтому

$$AD=\frac12 AB=\frac12\cdot 10=5,$$

а затем по теореме Пифагора

$$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BDC$$. Здесь $$\angle BDC=90^\circ$$, а так как $$\angle C=45^\circ$$, то

$$\angle DBC=90^\circ-\angle BCD=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$BDC$$ — равнобедренный прямоугольный, значит

$$CD=BD=\sqrt{75}.$$

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $$BDC$$:

$$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{75+75}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}.$$

Ответ

$$5\sqrt{6}\text{ см}$$