Упр.259 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 259. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 5 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 45°; 2) 330°.

Подробный ответ

Площадь кругового сегмента равна площади соответствующего сектора минус площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой:

$$S=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2-\frac12R^2\sin\alpha.$$

Здесь $$R=5$$ см, значит $$R^2=25.$$

1) При $$\alpha=45^\circ$$ получаем:

$$ S=\frac{45^\circ}{360^\circ}\pi\cdot 25-\frac12\cdot 25\cdot \sin45^\circ $$

$$ S=\frac{25\pi}{8}-\frac{25}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2} =\frac{25\pi}{8}-\frac{25\sqrt2}{4} =\frac{25(\pi-2\sqrt2)}{8}. $$

2) При $$\alpha=330^\circ$$:

$$ S=\frac{330^\circ}{360^\circ}\pi\cdot 25-\frac12\cdot 25\cdot \sin330^\circ $$

Так как $$\sin330^\circ=-\frac12,$$ то

$$ S=\frac{275\pi}{12}+\frac{25}{4} =\frac{275\pi+75}{12} =\frac{25(11\pi+3)}{12}. $$