Упр.259 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен $$5\ \text{см}$$, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) $$45^\circ$$; 2) $$330^\circ$$.

Площадь кругового сегмента равна площади соответствующего сектора минус площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой:

$$S=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2-\frac12R^2\sin\alpha.$$

Здесь $$R=5$$ см, значит $$R^2=25.$$

1) При $$\alpha=45^\circ$$ получаем:

$$S=\frac{45^\circ}{360^\circ}\pi\cdot 25-\frac12\cdot 25\cdot \sin45^\circ$$

$$S=\frac{25\pi}{8}-\frac{25}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2} =\frac{25\pi}{8}-\frac{25\sqrt2}{4} =\frac{25(\pi-2\sqrt2)}{8}.$$

2) При $$\alpha=330^\circ$$:

$$S=\frac{330^\circ}{360^\circ}\pi\cdot 25-\frac12\cdot 25\cdot \sin330^\circ$$

Так как $$\sin330^\circ=-\frac12,$$ то

$$S=\frac{275\pi}{12}+\frac{25}{4} =\frac{275\pi+75}{12} =\frac{25(11\pi+3)}{12}.$$

Ответ

1) $$\frac{25(\pi-2\sqrt2)}{8}\text{ см}^2$$; 2) $$\frac{25(11\pi+3)}{12}\text{ см}^2$$.