Упр.249 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника со стороной $$a$$ и углом $$\alpha$$ между данной стороной и диагональю прямоугольника.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагональ $$BD$$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $$ABD$$. Поэтому

$$\cos \angle ABD=\frac{AB}{BD}.$$

Так как $$AB=a$$ и $$\angle ABD=\alpha$$, то

$$\cos \alpha=\frac{a}{BD}, \qquad BD=\frac{a}{\cos \alpha}.$$

Окружность, описанная около прямоугольника, имеет центр в точке пересечения диагоналей, а её радиус равен половине диагонали:

$$R=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2\cos \alpha}.$$

Тогда длина окружности равна

$$C=2\pi R=2\pi \cdot \frac{a}{2\cos \alpha}=\frac{\pi a}{\cos \alpha}.$$

Ответ

$$\frac{\pi a}{\cos \alpha}$$