Упр.247 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 247. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами а и b.

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагональ находится по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Окружность, описанная около прямоугольника, проходит через все его вершины, поэтому её центр лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус равен половине диагонали:

$$R=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Тогда площадь круга равна

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}.$$

Ответ

$$\frac{\pi(a^2+b^2)}{4}$$