Упр.245 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной $$a$$.

Пусть окружность вписана в правильный шестиугольник со стороной $$a$$. Тогда радиус вписанной окружности равен апофеме шестиугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведённым к середине стороны, и половиной стороны шестиугольника. В таком треугольнике угол при центре равен $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$, значит половина этого угла равна $$30^\circ$$.

Тогда

$$R=\frac{a}{2\tan\frac{180^\circ}{6}}=\frac{a}{2\tan 30^\circ} =\frac{a}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь круга найдём по формуле $$S=\pi R^2$$:

$$S=\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 =\pi\cdot \frac{3a^2}{4} =\frac{3\pi a^2}{4}.$$

Ответ

$$\frac{3\pi a^2}{4}$$