Упр.23 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 23. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 5 см и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен 30°. Найдите диагональ параллелограмма, проведённую из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$, где $$BH$$ — высота параллелограмма, а $$H$$ — основание перпендикуляра на сторону $$AD$$.

Так как острый угол параллелограмма равен $$30^\circ$$, то $$\angle BAH=30^\circ$$, а $$\angle BHA=90^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Значит,

$$AH=BH=5\text{ см},$$

откуда

$$AB=2BH=2\cdot 5=10\text{ см}.$$

По условию $$AH=DH$$, значит, точка $$H$$ — середина стороны $$AD$$. Следовательно, $$BH$$ является и медианой треугольника $$ABD$$.

Так как в треугольнике $$ABD$$ медиана $$BH$$, проведённая к стороне $$AD$$, равна половине этой стороны, то треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и

$$BD=AB=10\text{ см}.$$

Тогда углы при основании равны:

$$\angle BDA=\angle BAD=30^\circ.$$

Найдём угол $$\angle ABD$$:

$$\angle ABD=180^\circ-\angle BAD-\angle BDA=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Теперь рассмотрим угол между диагональю $$BD$$ и стороной $$BC$$. В параллелограмме соседние углы supplementary, поэтому

$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Диагональ $$BD$$ делит угол $$B$$ на два угла, значит

$$\angle CBD=\angle B-\angle ABD=150^\circ-120^\circ=30^\circ.$$

Ответ

$$BD=10\text{ см},\ \angle ABD=120^\circ,\ \angle CBD=30^\circ.$$