Упр.227 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- Через точку $$A$$ к окружности проведены две касательные. Расстояние от точки $$A$$ до точки касания равно 12 см, а расстояние между точками касания — 14,4 см. Найдите радиус окружности.
Пусть $$B$$ и $$C$$ — точки касания, $$O$$ — центр окружности. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:
$$OB \perp AB,\quad OC \perp AC,$$
а также $$OB=OC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. По теореме косинусов:
$$\cos \angle A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}$$
Подставим данные:
$$\cos \angle A=\frac{12^2+12^2-14{,}4^2}{2\cdot 12\cdot 12} =\frac{144+144-207{,}36}{288} =\frac{80{,}64}{288}=0{,}28$$
В четырёхугольнике $$ABOC$$ углы при точках $$B$$ и $$C$$ прямые, значит
$$\angle BOC=180^\circ-\angle A,$$
следовательно,
$$\cos \angle BOC=-\cos \angle A=-0{,}28.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BOC$$. По теореме косинусов:
$$BC^2=OB^2+OC^2-2\cdot OB\cdot OC\cos \angle BOC$$
Так как $$OB=OC=r$$, получаем:
$$14{,}4^2=r^2+r^2-2r^2(-0{,}28)$$
$$207{,}36=2r^2+0{,}56r^2=2{,}56r^2$$
$$r^2=\frac{207{,}36}{2{,}56}=81,\qquad r=9$$
Ответ
$$9\text{ см}$$
