Упр.226 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 226. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите площадь треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как он равнобедренный, то $$AB=BC$$, а основание $$AC=24$$ см. Радиус описанной окружности равен $$R=13$$ см.

По формуле для стороны треугольника через радиус описанной окружности:

$$\sin \angle B=\frac{AC}{2R}=\frac{24}{2\cdot 13}=\frac{12}{13}.$$

Так как угол $$B$$ тупой, то

$$\cos \angle B=-\sqrt{1-\sin^2 \angle B}=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

По теореме косинусов для стороны $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos \angle B.$$

С учётом $$AB=BC$$ получаем:

$$24^2=AB^2+AB^2-2AB^2\left(-\frac{5}{13}\right);$$

$$576=2AB^2+\frac{10}{13}AB^2;$$

$$576=\frac{36}{13}AB^2;$$

$$AB^2=208.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin \angle B=\frac{1}{2}AB^2\sin \angle B.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 208\cdot \frac{12}{13}=96.$$

Ответ

$$96\ \text{см}^2$$