Упр.225 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. На одной стороне угла с вершиной в точке $$A$$ отметили точки $$B$$ и $$C$$ (точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C$$), а на другой — точки $$D$$ и $$E$$ (точка $$D$$ лежит между точками $$A$$ и $$E$$), причём $$AB=28\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$, $$AD=24\text{ см}$$, $$AE=42\text{ см}$$, $$BE=21\text{ см}$$. Найдите отрезок $$CD$$.

Рассмотрим треугольник $$AEB$$. По теореме косинусов:

$$\cos \angle A=\frac{AE^2+AB^2-BE^2}{2\cdot AE\cdot AB}.$$

Подставим данные:

$$\cos \angle A=\frac{42^2+28^2-21^2}{2\cdot 42\cdot 28}=\frac{1764+784-441}{2352}=\frac{2107}{2352}=\frac{43}{48}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$B$$ лежит между $$A$$ и $$C$$, то

$$AC=AB+BC=28+8=36.$$

По теореме косинусов для треугольника $$ACD$$:

$$CD^2=AC^2+AD^2-2\cdot AC\cdot AD\cos \angle A.$$

Подставим значения:

$$CD^2=36^2+24^2-2\cdot 36\cdot 24\cdot \frac{43}{48}$$

$$CD^2=1296+576-72\cdot 43=1872-1548=324.$$

Следовательно,

$$CD=\sqrt{324}=18.$$

Ответ

$$18\text{ см}$$