Упр.223 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна $$1$$. Пользуясь только линейкой, постройте отрезок длиной $$\sqrt{7}$$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $$ABCDEF$$ со стороной $$1$$.

Так как в правильном шестиугольнике центральный угол равен $$60^\circ$$, то угол между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равен $$60^\circ$$. Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC=1$$ и $$\angle ABC=120^\circ$$.

По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC$$
$$AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^\circ$$
$$AC^2=2-2\cdot \left(-\frac12\right)=3,$$
значит,
$$AC=\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим точку $$K$$ на продолжении стороны $$CD$$ так, что $$DK=CD=1$$. Тогда

$$CK=CD+DK=1+1=2.$$

Угол $$\angle D$$ правильного шестиугольника равен $$120^\circ$$, поэтому

$$\angle CDE=120^\circ.$$

Так как точки $$K, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ACK=90^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACK$$ по теореме Пифагора:

$$AK^2=AC^2+CK^2=3+4=7,$$
откуда

$$AK=\sqrt{7}.$$

Следовательно, искомый отрезок длиной $$\sqrt{7}$$ можно получить как диагональ $$AK$$ построенного прямоугольного треугольника.

Ответ

$$AK=\sqrt{7}$$.