Упр.223 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 223. Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна 1. Пользуясь только линейкой, постройте отрезок длиной v7.

Рассмотрим правильный шестиугольник $$ABCDEF$$ со стороной $$1$$.

Так как в правильном шестиугольнике центральный угол равен $$60^\circ$$, то угол между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равен $$60^\circ$$. Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ имеем $$AB=BC=1$$ и $$\angle ABC=120^\circ$$.

По теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle ABC $$
$$ AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^\circ $$
$$ AC^2=2-2\cdot \left(-\frac12\right)=3, $$
значит,
$$ AC=\sqrt{3}. $$

Теперь рассмотрим точку $$K$$ на продолжении стороны $$CD$$ так, что $$DK=CD=1$$. Тогда

$$ CK=CD+DK=1+1=2. $$

Угол $$\angle D$$ правильного шестиугольника равен $$120^\circ$$, поэтому

$$ \angle CDE=120^\circ. $$

Так как точки $$K, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$ \angle ACK=90^\circ. $$

В прямоугольном треугольнике $$ACK$$ по теореме Пифагора:

$$ AK^2=AC^2+CK^2=3+4=7, $$
откуда

$$ AK=\sqrt{7}. $$

Следовательно, искомый отрезок длиной $$\sqrt{7}$$ можно получить как диагональ $$AK$$ построенного прямоугольного треугольника.

Ответ

$$AK=\sqrt{7}$$.