Упр.222 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 222. Форму каких равных правильных многоугольников могут иметь дощечки паркета, чтобы ими можно было выстлать пол?

Подробный ответ

Пусть правильный многоугольник имеет $$n$$ сторон. Тогда его внутренний угол равен

$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.$$

Чтобы такими многоугольниками можно было замостить плоскость без пробелов, вокруг одной точки должно помещаться целое число углов, то есть

$$\frac{360^\circ}{\alpha}=\frac{360^\circ}{\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}}=\frac{2n}{n-2}.$$

Это число должно быть целым. Преобразуем:

$$\frac{2n}{n-2}=2+\frac{4}{n-2}.$$

Значит, число $$n-2$$ должно делить $$4$$. Возможны случаи:

$$n-2=1 \Rightarrow n=3,$$

$$n-2=2 \Rightarrow n=4,$$

$$n-2=4 \Rightarrow n=6.$$

Следовательно, замостить плоскость без пробелов можно правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками.