Упр.221 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 221. В правильном восьмиугольнике, сторона которого равна а, последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося квадрата.

Подробный ответ

Обозначим радиус описанной окружности правильного восьмиугольника через $$R.$$ Тогда его сторона выражается формулой

$$a=2R\sin 22{,}5^\circ.$$

Найдём $$\sin 22{,}5^\circ$$ через половинный угол:

$$\sin 22{,}5^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Тогда

$$a=2R\cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}=R\sqrt{2-\sqrt2},$$

откуда

$$R=\frac{a}{\sqrt{2-\sqrt2}}.$$

Теперь рассмотрим середины четырёх сторон, взятых через одну. Эти точки лежат на окружности, а центральный угол между соседними из них равен $$90^\circ,$$ значит, получившаяся фигура — квадрат.

Сторона этого квадрата равна хорде, стягивающей угол $$90^\circ,$$ то есть

$$x=2R\sin 45^\circ=R\sqrt2.$$

Подставим найденное $$R$$:

$$x=\frac{a\sqrt2}{\sqrt{2-\sqrt2}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$x=\frac{a\sqrt2\sqrt{2+\sqrt2}}{\sqrt{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}}=\frac{a\sqrt{4+2\sqrt2}}{\sqrt2}=\frac{a(2+\sqrt2)}{2}.$$