Упр.220 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 220. В правильном двенадцатиугольнике, сторона которого равна а, последовательно соединили середины шести сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося правильного шестиугольника.

Подробный ответ

Обозначим сторону правильного двенадцатиугольника через $$a$$. Тогда радиус вписанной окружности этого многоугольника равен

$$r_{12}=\frac{a}{2\tan\frac{180^\circ}{12}}=\frac{a}{2\tan 15^\circ}.$$

Найдём $$\tan 15^\circ$$:

$$ \tan 15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{1+\cos 30^\circ}} =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}} =\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}} =2-\sqrt3. $$

Тогда

$$ r_{12}=\frac{a}{2(2-\sqrt3)}=\frac{a(2+\sqrt3)}{2}. $$

Середины шести сторон, взятых через одну, лежат на окружности с этим радиусом и образуют правильный шестиугольник. Его сторона равна хорде, стягивающей дугу $$60^\circ$$, то есть

$$ a_6=2r_{12}\sin\frac{180^\circ}{6}=2r_{12}\sin 30^\circ. $$

Подставим найденное значение $$r_{12}$$:

$$ a_6=2\cdot \frac{a(2+\sqrt3)}{2}\cdot \frac12 =\frac{a(2+\sqrt3)}{2}. $$