Упр.22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 22. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, cos(угла BOC)=-v3/2. Найдите угол A треугольника.

Рассмотрим треугольник $$BOC$$. По условию

$$\cos \angle BOC=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\angle BOC=150^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle OBC+\angle OCB=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, то $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ соответственно. Значит,

$$\angle B=2\angle OBC,\qquad \angle C=2\angle OCB.$$

Тогда

$$\angle B+\angle C=2(\angle OBC+\angle OCB)=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle A=180^\circ-(\angle B+\angle C)=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Ответ

$$120^\circ$$