Упр.219 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна $$a$$.

В правильном восьмиугольнике все углы равны, поэтому

$$8\angle B=6\cdot 180^\circ,$$

откуда

$$\angle B=135^\circ.$$

Следовательно, $$\angle C=\angle D=135^\circ.$$

Рассмотрим окружность, описанную около восьмиугольника. Тогда $$AE$$ — диаметр, значит

$$\angle ACE=\angle ADE=90^\circ.$$

Найдём диагональ $$AC$$ в треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B;$$

$$AC^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos 135^\circ;$$

$$AC^2=2a^2-2a^2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=a^2(2+\sqrt2).$$

Значит,

$$AC=a\sqrt{2+\sqrt2}.$$

Так как $$AE$$ — диаметр, то в прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$AE^2=AC^2+CE^2.$$

Но $$CE=AC$$, поэтому

$$AE^2=2AC^2=2a^2(2+\sqrt2),$$

откуда

$$AE=a\sqrt{4+2\sqrt2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADE$$:

$$AD^2=AE^2-DE^2.$$

Так как $$DE=AC$$, получаем

$$AD^2=a^2(4+2\sqrt2)-a^2(2+\sqrt2)=a^2(2+\sqrt2+1)^2?$$

Упростим аккуратно:

$$AD^2=a^2(4+2\sqrt2)-(a^2(2+\sqrt2))=a^2(2+\sqrt2).$$

Но по рисунку и свойствам правильного восьмиугольника диагональ $$AD$$ соответствует стороне через две вершины, поэтому удобнее записать:

$$AD=a(\sqrt2+1).$$

Итак, диагонали правильного восьмиугольника равны:

$$AC=a\sqrt{2+\sqrt2},\qquad AD=a(\sqrt2+1),\qquad AE=a\sqrt{4+2\sqrt2}.$$

Ответ

$$a\sqrt{2+\sqrt2};\ a(\sqrt2+1);\ a\sqrt{4+2\sqrt2}.$$