Упр.216 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 216. Найдите диагонали и площадь правильного шестиугольника, сторона которого равна а.

1) В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, значит

$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{6}}=a.$$

Следовательно, $$OC=OF=R=a,$$ а также $$AF=BC=AB=a.$$

Угол правильного шестиугольника:

$$6\angle A=(6-2)\cdot 180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=120^\circ.$$

2) Найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B,$$

$$S_{ABC}=\frac12\cdot a\cdot a\cdot \sin120^\circ,$$

$$S_{ABC}=\frac12 a^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

3) Рассмотрим треугольник $$ACF$$. Так как $$CF=OC+OF=2a,$$ то по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{CF^2-AF^2},$$

$$AC=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt3.$$

4) Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей 6 равных треугольников:

$$S=6S_{ABC}=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}.$$

Ответ

$$AC=a\sqrt3,\quad CF=2a,\quad S=\frac{3a^2\sqrt3}{2}.$$