Упр.215 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите площадь правильного восьмиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $$R$$.

В правильном восьмиугольнике все центральные углы равны, поэтому

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то

$$AO=BO=R.$$

Найдём площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac12 \cdot AO \cdot BO \cdot \sin \angle AOB.$$

Подставим значения:

$$S_{AOB}=\frac12 \cdot R \cdot R \cdot \sin 45^\circ=\frac12 R^2 \cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{R^2\sqrt2}{4}.$$

Правильный восьмиугольник состоит из 8 таких треугольников, значит

$$S=8S_{AOB}=8\cdot \frac{R^2\sqrt2}{4}=2R^2\sqrt2.$$

Ответ

$$2R^2\sqrt2$$