Упр.214 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Какая ширина проёма должна быть у ключа для шестигранной гайки, основания которой имеют форму правильного шестиугольника (рис. 47), если ширина грани гайки равна $$25\ \text{мм}$$, а зазор между гранями гайки и ключа — $$0{,}5\ \text{мм}$$?

В правильном шестиугольнике все стороны равны, значит $$AB=AF=25\text{ мм}.$$

Найдём внутренний угол правильного шестиугольника:

$$\angle A=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=\frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}=120^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABF.$$ По теореме косинусов:

$$BF^2=AB^2+AF^2-2\cdot AB\cdot AF\cos\angle A$$
$$BF^2=25^2+25^2-2\cdot 25\cdot 25\cos 120^\circ$$
$$BF^2=625+625-1250\cdot\left(-\frac12\right)=1875$$

Тогда

$$BF=\sqrt{1875}=25\sqrt3\approx 43{,}3\text{ мм}.$$

С учётом зазора $$0{,}5\text{ мм}$$ с каждой стороны ширина проёма ключа должна быть

$$43{,}3+2\cdot 0{,}5\approx 44{,}3\text{ мм}\approx 44\text{ мм}.$$

Ответ

$$44\text{ мм}$$