Упр.213 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Докажите, что сторона правильного двенадцатиугольника равна $$R\sqrt{2-\sqrt{3}}$$, где $$R$$ — радиус его описанной окружности.

В правильном двенадцатиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB=R$$, то по теореме косинусов

$$AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB.$$

Подставим значения:

$$AB^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cos 30^\circ.$$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем

$$AB^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2R^2-\sqrt{3}R^2=R^2(2-\sqrt{3}).$$

Следовательно,

$$AB=R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB=R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$