Упр.213 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 213. Докажите, что сторона правильного двенадцатиугольника равна Rv(2-v3), где R — радиус его описанной окружности.

Подробный ответ

В правильном двенадцатиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB=R$$, то по теореме косинусов

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB. $$

Подставим значения:

$$ AB^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cos 30^\circ. $$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем

$$ AB^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2R^2-\sqrt{3}R^2=R^2(2-\sqrt{3}). $$

Следовательно,

$$ AB=R\sqrt{2-\sqrt{3}}. $$

Что и требовалось доказать.