Упр.212 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 212. Докажите, что сторона правильного восьмиугольника равна Rv(2-v2), где R — радиус его описанной окружности.

В правильном восьмиугольнике центральный угол равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB=R$$, то по теореме косинусов

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB. $$

Подставим значения:

$$ AB^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cos45^\circ. $$

Так как $$\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$, получаем

$$ AB^2=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=2R^2-\sqrt2\,R^2=R^2(2-\sqrt2). $$

Следовательно,

$$ AB=R\sqrt{2-\sqrt2}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB=R\sqrt{2-\sqrt2}.$$