Упр.211 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 211. В окружность вписан правильный шестиугольник, и около неё описан правильный шестиугольник. Найдите отношение сторон этих шестиугольников.

Пусть $$R$$ — радиус данной окружности. Тогда для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона выражается через радиус так:

$$a_{\text{вп}}=2R\sin\frac{180^\circ}{6}=2R\sin30^\circ=R.$$

Для правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, радиус окружности является его апофемой, поэтому

$$a_{\text{оп}}=2R\tan\frac{180^\circ}{6}=2R\tan30^\circ=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Тогда отношение сторон равно

$$\frac{a_{\text{вп}}}{a_{\text{оп}}}=\frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ

$$\sqrt{3}:2$$