Упр.210 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 210. В окружность вписан правильный треугольник, и около неё описан правильный треугольник. Найдите отношение сторон этих треугольников.

Пусть $$R$$ — радиус данной окружности. Тогда для правильного треугольника, вписанного в окружность, эта окружность является описанной, а для правильного треугольника, описанного около окружности, — вписанной.

Найдём стороны этих треугольников через радиус $$R$$.

1) Вписанный правильный треугольник. Его сторона равна хорде, стягивающей центральный угол $$120^\circ$$, поэтому

$$a_1=2R\sin\frac{120^\circ}{2}=2R\sin60^\circ=R\sqrt{3}.$$

2) Описанный правильный треугольник. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой

$$r=\frac{a_2\sqrt{3}}{6}.$$

Так как $$r=R$$, получаем

$$R=\frac{a_2\sqrt{3}}{6}, \qquad a_2=2R\sqrt{3}.$$

Теперь найдём отношение сторон:

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{R\sqrt{3}}{2R\sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$1:2$$