Упр.21 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 21. В треугольнике ABC известно, что угол B=60°, точка О — центр вписанной окружности. Чему равен косинус угла AOC?

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Тогда

$$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$AO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов $$\angle BAC$$ и $$\angle BCA$$. Значит,

$$\angle OAC+\angle OCA=\frac{1}{2}(\angle A+\angle C)=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

Теперь в треугольнике $$AOC$$ найдем угол $$\angle AOC$$:

$$\angle AOC=180^\circ-(\angle OAC+\angle OCA)=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Тогда

$$\cos \angle AOC=\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$-\frac{1}{2}$$