Упр.209 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 209. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиутольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна а. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат: 1) по разные стороны от хорды; 2) по одну сторону от хорды.

Пусть общая хорда имеет длину $$a$$.

Так как эта хорда является стороной правильного треугольника, то радиус окружности, в которую он вписан, равен

$$r_3=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{a\sqrt3}{3}.$$

Так как эта же хорда является стороной правильного шестиугольника, то радиус второй окружности равен

$$r_6=\frac{a}{2\sin 30^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac12}=a.$$

Теперь найдём расстояние между центрами окружностей.

1) Центры лежат по разные стороны от хорды. Тогда расстояние между ними равно сумме радиусов:

$$l=r_3+r_6=\frac{a\sqrt3}{3}+a=\frac{a\sqrt3+3a}{3}=\frac{a(3+\sqrt3)}{3}.$$

2) Центры лежат по одну сторону от хорды. Тогда расстояние между ними равно разности радиусов:

$$l=r_6-r_3=a-\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{3a-a\sqrt3}{3}=\frac{a(3-\sqrt3)}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{a(3+\sqrt3)}{3}$$; 2) $$\frac{a(3-\sqrt3)}{3}$$.